02. 시저 암호의 붕괴점, 빈도 분석법 (Frequency Analysis)
1. 학습 목표 (Learning Objectives)
- 하나의 평문이 고정된 하나의 암호문으로 1:1로만 매칭될 때 생기는 패턴의 통계학적 취약점을 간파합니다.
- 파이썬의 시각화 도구인
matplotlib을 동원해, 컴퓨터가 텍스트의 파편 비율을 꺾은선 막대 그래프로 렌더링하고 암호를 박살 내는 과정을 시뮬레이션합니다.
2. 모음 ‘E’의 절대적인 지배력
시저 암호와 같이 1:1로 고정된 알파벳 치환을 ‘단일 대치(단일 대치) 암호’라고 부릅니다. 이 암호는 얼핏 보기엔 완벽해 보입니다. 키 값을 모르는 사람이 알파벳을 수작업으로 때려 맞추려면 $26!$(약 $4 \times 10^{26}$, 400조의 조 배) 이라는 우주가 멸망할 때까지 셀 수 없는 경우의 수가 나오기 때문입니다.
그런데 고대와 중세를 호령하던 이 암호막을 산산조각 낸 천재적인 수학 기법이 9세기 아랍의 수학자 알 킨디에 의해 발명됩니다. 바로 ‘빈도 분석법’입니다.
인간이 쓰는 말(언어 패턴)에는 강력한 지문이 있습니다. 영어로 쓰인 수만 권의 책을 긁어모아 글자 수를 세어보면, 가장 많이 튀어나오는 압도적 1위 알파벳은 무조건 모음 ‘E (약 13%)’ 입니다. 그다음이 T, A, O, I, N 순으로 떨어집니다. 반대로 ‘Z, Q, X’ 등은 코빼기도 보이지 않습니다.
어떤 알 수 없는 긴~ 암호문 편지를 주웠습니다. 이 암호문에서 이상하게 ‘X’라는 찌그러진 글자가 유독 13% 비율로 엄청나게 쏟아진다면 어떻게 될까요? 암호학자는 싱긋 웃으며 말합니다. “보나마나 원본의 ‘E’라는 글자들을 암호화 하면서 무조건 ‘X’로 둔갑시켜 놨구만! X를 싹 다 E로 돌려놔!”
1:1 치환 암호는 철자의 ‘얼굴’만 바꿨을 뿐, 그것이 문장 속에서 뛰노는 ‘빈도 점유율’의 영혼까지는 덮지 못한다는 엄청난 모순을 지니고 있습니다.
3. 파이썬과 matplotlib를 이용한 통계 차트 (Python)
이번엔 프로그래머의 무기인 matplotlib 라이브러리를 써서 텍스트의 글자 비율을 계측하고, 눈에 보이는 그래프로 출력하는 시각화 코드를 맛보겠습니다.
이 코드는 개발 환경(Jupyter, VS Code 등)에서 실행하면 정말 예쁜 통계 바 차트를 그려냅니다.
import collections
# matplotlib 모듈: 수학 데이터를 시각적인 2D 그래프/차트로 아름답게 그려주는 파이썬 국민 라이브러리
import matplotlib.pyplot as plt
def plot_frequency_analysis(text, is_cipher=False):
# 특수문자를 제거하고 영문 알파벳(대문자) 파편만 걸러냅니다
letters_only = [char.upper() for char in text if 'a' <= char.lower() <= 'z']
# 파이썬 내장 Counter를 써서 각 글자가 몇 개(개수) 떴는지 초고속 계측
counter = collections.Counter(letters_only)
total_chars = sum(counter.values())
# 딕셔너리 정렬 (알파벳 A부터 Z 순서대로 정렬)
sorted_freq = dict(sorted(counter.items()))
# ----------------------------------------------------
# Matplotlib을 이용해 화면에 막대 그래프(Bar Chart) 그리기
# ----------------------------------------------------
plt.figure(figsize=(10, 5))
x_keys = list(sorted_freq.keys())
# 개수를 백분율(Percentage, %) 피크 비율로 환산
y_percents = [(count / total_chars) * 100 for count in sorted_freq.values()]
color_theme = 'tomato' if is_cipher else 'royalblue'
title_str = 'Cipher Text Frequency (%)' if is_cipher else 'Original Text Frequency (%)'
plt.bar(x_keys, y_percents, color=color_theme)
plt.title(title_str, fontsize=15, fontweight='bold')
plt.xlabel('Alphabet', fontsize=12)
plt.ylabel('Frequency (%)', fontsize=12)
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)
# 이 명령어를 치면 모니터 창에 화려한 차트가 팝업됩니다!
# plt.show()
# 길고 정상적인 영문 평문 원본
sample_text = """
Mathematical structures are beautifully logical. The encryption of secrets
and decryption using frequency analysis creates a stunning battle of minds and code!
Even the legendary Julius Caesar couldn't defeat the immense power of statistics.
"""
# 막대 그래프 차트를 생성
plot_frequency_analysis(sample_text, is_cipher=False)
위 코드를 직접 구동하면 파란색의 촘촘한 막대그래프가 나타납니다. 그중 $E$ 기둥이 무려 13%에 달하는 고공 점프를 하며 독보적인 통계적 위용을 뽐내는 것을 눈으로 똑똑히 볼 수 있습니다. 이것이 데이터 사이언스(Data Science)가 암호에 접목되는 빛나는 순간입니다.
4. 학습 정리 (Summary)
- 단일 대치(치환) 암호의 약점: 하나의 글자를 고정된 다른 모양의 글자로 1:1 바꿀 경우, 원래 글자가 인간의 언어에서 가지고 있는 버릇과 비율(통계적 지문)을 그대로 상속받습니다.
- 빈도 분석법 (Frequency Analysis): 암호문이 아무리 복잡해도 영문법과 단어의 파편 통계치(예: E의 초고비율 등장)를 꺾은선과 막대로 나열하여 끼워 맞추는 궁극의 해독 스나이퍼 기술입니다.
- 파이썬의
matplotlib라이브러리는 방대한 알파벳 문자열 더미를 직관적인 UI 차트로 렌더링해주는 최고의 무기입니다.