04. 네 번째 수업: 차원이 다른, 프랙탈의 차원 계산법

우리는 점을 0차원, 선을 1차원, 정사각형 같은 면을 2차원이라 부르는 세상에 살고 있습니다. 그렇다면 면적이 점점 0으로 사라져 가는 시어핀스키 텅 빈 삼각형은 몇 차원일까요? 선이 끝없이 꼬불꼬불해져서 종이 공간을 미친 듯이 메우려는 코흐 곡선은 1차원 선일까요, 아니면 2차원 면일까요?

학습 목표

1차원, 2차원, 3차원을 가르는 확장 계수와 등분(쪼개기) 개수의 로그(Log) 공식을 배웁니다.
프랙탈 도형의 차원을 계산하면 절대 딱 떨어지는 정수가 아닌 $1.2618…$ 같은 이상한 소수점 실수(Float)로 쪼개진 차원이 도출됨을 확인합니다.
차원이 높은 프랙탈일수록 그래픽 엔진에서 더 심하게 화면을 칠해버리는 밀도(Density) 효과를 유발한다는 것을 이해합니다.

1. 유클리드의 온전한 차원계 (1, 2, 3)

물체의 길이를 정확히 절반($\frac{1}{2}$)으로 축소했다고 칩시다.

1차원 공간(직선 선분): 1미터짜리 밧줄을 길이가 절반이 되게 자르면? $\rightarrow$ 똑같은 축소 밧줄이 2개 만들어집니다. ($2^1 = 2$)
2차원 공간(정사각형 종이): 가로세로를 각각 절반으로 자르면 십자가 모양으로 잘리며 $\rightarrow$ 똑같은 색종이가 4개 만들어집니다. ($2^2 = 4$)
3차원 공간(루빅스 큐브 덩어리): 가로/세로/높이를 절반으로 자르면 깍두기처럼 $\rightarrow$ 똑같은 축소 블록이 8개 만들어집니다. ($2^3 = 8$)

1차원 선, 2차원 사각형, 3차원 정육면체의 차원별 확장을 보여주는 유클리드 기하학 SVG

수학자들은 여기서 아름다운 차원 공식 $D$ (Dimension)를 뽑아냈습니다. 축소 비율을 $r$, 생성된 동일 복제본의 개수를 $N$이라고 할 때: $N = r^D$ 이 식에 고등학교 수학인 로그(Logarithm)를 씌우면 차원 $D$를 구하는 치트키가 됩니다. $D = \frac{\log(N)}{\log(r)}$

2. 괴물의 차원: 소수점으로 깨져버린 차원 (Fractional Dimension)

이제 이 마법의 로그 공식을 무한 루프를 도는 프랙탈 괴물들에게 집어넣어 봅시다.

[코흐 곡선의 신체검사] 코흐 곡선은 1개의 선분을 3등분으로 축소($r=3$) 시킨 후 가운데를 접어올려 똑같이 생긴 짧은 톱니 뼈대 4개($N=4$)를 만들어 냅니다.

차원 $D = \frac{\log(4)}{\log(3)} = 1.26185…$ 차원

코흐 곡선은 1차원(단순한 선)보다 뚱뚱합니다! 선이 하도 꼬불꼬불하게 진동해서 1.26차원만큼이나 종이 면적을 공격적으로 차지하며 꿈틀거린다는 뜻입니다.

[시어핀스키 삼각형의 신체검사] 색종이를 가로세로 2등분 축소($r=2$) 시킵니다. 가운데 구멍 파편을 버리고 났더니 축소된 삼각형 복제본이 3개($N=3$) 남습니다.

차원 $D = \frac{\log(3)}{\log(2)} = 1.58496…$ 차원

시어핀스키는 2차원(색종이 면)보다는 부실합니다! 0.41차원만큼 구멍이 숭숭 뚫려 공간을 도려먹혔다는 증거입니다.

3. Python 차원 분석기: 수학 라이브러리 `math.log()`

컴퓨터 과학과 AI 분야에서 어떤 자연 데이터 사진이 들어왔을 때, 컴퓨터는 이 사진의 복잡도를 이 ‘로그 차원’ 공식으로 스캐닝하여 분류합니다. (예: 폐암 엑스레이 혈관 사진이 1.7차원 이상으로 복잡해지면 암세포 종양 증식으로 판별)

# 파이썬 수학 라이브러리를 동원한 프랙탈 차원(Dimension) 계산기

import math

def calculate_fractal_dimension(split_ratio, clone_pieces):
    """
    확대/축소 비율(r)과 그때 튀어나오는 복제본 개수(N)를 입력받아 
    이 기괴한 도형이 우주에서 몇 차원(Float 차원)을 차지하는 밀도인지 판별합니다.
    """
    
    # 파이썬 마법의 함수 math.log()
    dimension = math.log(clone_pieces) / math.log(split_ratio)
    
    return dimension

print("=== 프랙탈 차원 스캐너 가동 ===")

# 테스트 1: 코흐 곡선 (3배 축소했을 때 조각이 4개 튀어나옴)
koch_dim = calculate_fractal_dimension(3, 4)
print(f"❄️ 자기를 4번 부수며 증식하는 코흐(Koch)의 차원: {koch_dim:.4f} D (1차원 선보다 뚱뚱함)")

# 테스트 2: 멩거 스폰지 (3D 큐브 프랙탈. 3배 축소시 조각이 20개 남음)
menger_dim = calculate_fractal_dimension(3, 20)
print(f"🧽 가운데가 텅 빈 무한 큐브, 멩거 스폰지의 차원: {menger_dim:.4f} D (3차원보다 가벼움)")

파이썬의 math.log() 소수점 실수(Float) 연산을 통해 우리는 인류가 오랫동안 믿어왔던 “$1, 2, 3$ 정수 차원”의 고정관념을 박살 내고, 자연 만물이 그 형태의 복잡도(방정식 해상도)에 따라 $1.2$차원, $2.7$차원 등 실수 형태의 부피와 질량을 가지고 렌더링 됨을 확인할 수 있습니다.

학습 정리

차원의 공식 식별: 축소 분할의 비율을 밑(Base)으로, 튀어나온 복제 형상의 개수를 진수(Argument)로 씌워버린 마법의 비율 로직 $\frac{\log(N)}{\log(r)}$ 이 차원 계수기이다.
Fractal Dimension (조각난 실수 차원): 코흐 곡선은 1.26차원, 시어핀스키는 1.58차원. 1차원 선도 아니고 2차원 평면도 아닌 그 중간 생태계 어딘가를 채우고 있는 징그러운 정보량의 중간 지대들.
파이썬 math.log() 라이브러리는 이 차원 계산을 단 한 줄의 float 반환값으로 산출해 버리며, 딥러닝에서 의료 영상 혈관의 암세포 프랙탈 증식 여부를 판독하는 알고리즘의 뼈대가 되기도 한다.

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